حل تمرین صفحه 7 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۱ صفحه ۷ ریاضی دهم سلام! این تمرین بر مفاهیم **مجموعه، زیرمجموعه و متناهی/نامتناهی** بودن تمرکز داره. با دقت پاسخ‌ها رو بررسی کنید: ### الف) نمایش اعضای مجموعه‌ی $\text{U}$ مجموعه‌ی $\text{U}$ شامل تمام **مضرب‌های طبیعی** عدد ۵ است. اعداد طبیعی از $۱$ شروع می‌شن ($\{۱, ۲, ۳, \dots\}$). مضرب‌های طبیعی عدد ۵ هم از $۵ \times ۱$ شروع می‌شن و ادامه پیدا می‌کنن: $$\text{U} = \{۵ \times ۱, ۵ \times ۲, ۵ \times ۳, ۰۰۰\} = \{۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰, \dots\}$$ --- ### ب) $\text{U}$ متناهی است یا نامتناهی؟ * مضرب‌های عدد ۵ هیچ پایانی ندارند و به سمت بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنند. * بنابراین، $\text{U}$ یک مجموعه‌ی **نامتناهی** است. $$\text{U} \text{ نامتناهی است.}$$ --- ### پ) یک زیرمجموعه‌ی متناهی از $\text{U}$ برای ساختن یک **زیرمجموعه‌ی متناهی** (محدود و قابل شمارش) از $\text{U}$، کافیه چند تا از اعضای $\text{U}$ رو به دلخواه انتخاب کنید. **مثال:** $$\text{S} = \{۵, ۱۰, ۱۵\}$$ **مثال‌های دیگر:** $\{۵۰, ۱۰۰\}$ یا $\{۱۰۰۰\}$. هر مجموعه‌ای که تعداد محدودی از مضرب‌های ۵ رو شامل بشه، درسته. --- ### ت) دو زیرمجموعه‌ی نامتناهی $\text{C}$ و $\text{D}$ از $\text{U}$ به طوری که $\text{C} \subseteq \text{D}$ هر دو مجموعه باید بی‌نهایت عضو داشته باشن و همه‌ی اعضای $\text{C}$ باید عضو $\text{D}$ هم باشن. * **مجموعه‌ی $\text{D}$:** می‌تونیم خود مجموعه‌ی $\text{U}$ رو در نظر بگیریم. $$\text{D} = \text{U} = \{۵, ۱۰, ۱۵, ۲۰, ۲۵, \dots\}$$ * **مجموعه‌ی $\text{C}$:** یک زیرمجموعه‌ی نامتناهی از $\text{D}$ بسازیم. مثلاً **مضرب‌های طبیعی عدد ۱۰** (که همگی مضرب ۵ هم هستند). $$\text{C} = \{۱۰, ۲۰, ۳۰, ۴۰, \dots\}$$ **بررسی:** * هر دو مجموعه نامتناهی هستند. ✅ * تمام مضرب‌های ۱۰، مضرب ۵ هم هستند (چون $۱۰ = ۲ \times ۵$). پس $\text{C}$ زیرمجموعه‌ی $\text{D}$ است: $\text{C} \subseteq \text{D}$. ✅ $$\text{D} = \{۵, ۱۰, ۱۵, \dots\}, \quad \text{C} = \{۱۰, ۲۰, ۳۰, \dots\}, \quad \text{C} \subseteq \text{D}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۲ صفحه ۷ ریاضی دهم برای تعیین متناهی یا نامتناهی بودن، باید ببینیم آیا تعداد اعضای مجموعه محدود و قابل شمارشه یا بی‌نهایته. ### الف) مجموعه‌ی اعداد طبیعی * اعداد طبیعی ($\mathbb{N}$) از $۱$ شروع شده و تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنن: $\{۱, ۲, ۳, ۴, \dots\}$. * **نامتناهی**. ### ب) مجموعه‌ی شمارنده‌های طبیعی عدد ۳۶ * شمارنده‌ها اعدادی هستند که ۳۶ بر اون‌ها بخش‌پذیره: $\{۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۹, ۱۲, ۱۸, ۳۶\}$. * تعداد اعضا (۹ تا) مشخصه. * **متناهی**. ### پ) بازه‌ی $(\frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۲})$ * این بازه شامل **تمام اعداد حقیقی** بین $\frac{۱}{۴}$ و $\frac{۱}{۲}$ است. * بین هر دو عدد حقیقی، بی‌نهایت عدد حقیقی دیگه وجود داره (خاصیت چگالی اعداد حقیقی). * **نامتناهی**. ### ت) $\text{A} = \{x \in \mathbb{N} \mid ۱ < x < ۲\}$ * این مجموعه شامل اعداد **طبیعی** ($x \in \mathbb{N}$) است که **بین** ۱ و ۲ باشند. * هیچ عدد طبیعی‌ای بین ۱ و ۲ وجود نداره. * این مجموعه **تهی** است: $\text{A} = \emptyset$. مجموعه‌ی تهی دارای صفر عضو است. * **متناهی**. ### ث) مجموعه‌ی مضرب‌های طبیعی عدد ۱۰۰ * مضرب‌های ۱۰۰ عبارتند از: $\{۱۰۰, ۲۰۰, ۳۰۰, ۴۰۰, \dots\}$. * این مضرب‌ها تا بی‌نهایت ادامه پیدا می‌کنن. * **نامتناهی**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۳ صفحه ۷ ریاضی دهم این سؤال نیاز به کمی خلاقیت در انتخاب مجموعه‌های نامتناهی داره. ما می‌خوایم دو مجموعه که هر کدومشون بی‌نهایت عضو دارن، فقط در تعداد **محدودی** عضو با هم مشترک باشند. ### مثال: * **مجموعه‌ی $\text{A}$:** **اعداد صحیح** ($\mathbb{Z}$). این مجموعه نامتناهی است: $$\text{A} = \mathbb{Z} = \{\dots, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, \dots\}$$ * **مجموعه‌ی $\text{B}$:** **اعداد حقیقی بازه‌ی $(\mathbf{-۱۰}, \mathbf{۱۰})$**. این مجموعه نامتناهی است (چون شامل بی‌نهایت عدد حقیقی بین $-۱۰$ و $۱۰$ است). $$\text{B} = (-۱۰, ۱۰) = \{x \in \mathbb{R} \mid -۱۰ < x < ۱۰\}$$ **محاسبه‌ی اشتراک $\text{A} \cap \text{B}$:** اشتراک این دو مجموعه شامل **اعداد صحیح**ی هست که **بین $-۱۰$ و $۱۰$** قرار دارند. این اعداد عبارتند از: $$\text{A} \cap \text{B} = \{-۹, -۸, \dots, -۱, ۰, ۱, \dots, ۸, ۹\}$$ تعداد اعضای این مجموعه محدود (۱۹ عضو) است. نتیجه: هر دو مجموعه **نامتناهی** هستند، اما اشتراک آن‌ها یک مجموعه‌ی **متناهی** است. ✅

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۴ صفحه ۷ ریاضی دهم برای محاسبه‌ی اجتماع، اشتراک و تفاضل بازه‌ها، بهترین راه رسم اون‌ها روی محور اعداده. ### الف) $(-۲, ۵] \cup (-۳, ۰]$ * **بازه‌ی اول:** اعداد بزرگتر از $-۲$ و کوچکتر یا مساوی ۵. * **بازه‌ی دوم:** اعداد بزرگتر از $-۳$ و کوچکتر یا مساوی ۰. * **اجتماع** ($\cup$): شامل همه‌ی اعدادی که حداقل در یکی از بازه‌ها باشند. از کوچکترین حد ($athbf{-۳}$) تا بزرگترین حد ($athbf{۵}$) را شامل می‌شود. $$\mathbf{(-۳, ۵]}$$ --- ### ب) $(۲, ۹] \cap (-\infty, ۶]$ * **بازه‌ی اول:** اعداد بزرگتر از ۲ و کوچکتر یا مساوی ۹. * **بازه‌ی دوم:** اعداد کوچکتر یا مساوی ۶. * **اشتراک** ($\cap$): شامل اعدادی که در هر دو بازه مشترک باشند. از بزرگترین حد پایین (۲) تا کوچکترین حد بالا (۶) را شامل می‌شود. $$\mathbf{(۲, ۶]}$$ --- ### پ) $(۶, ۱۰] \cap (۳, +\infty)$ * **بازه‌ی اول:** اعداد بزرگتر از ۶ و کوچکتر یا مساوی ۱۰. * **بازه‌ی دوم:** اعداد بزرگتر از ۳. * **اشتراک:** از بزرگترین حد پایین (۶) تا حد بالا (۱۰) مشترک هستند. چون ۶ در $(۶, ۱۰]$ نیست، در اشتراک هم نیست. $$\mathbf{(۶, ۱۰]}$$ --- ### ت) $[۱, +\infty) \cup (-\infty, ۱)$ * **بازه‌ی اول:** اعداد بزرگتر یا مساوی ۱ (شامل ۱). * **بازه‌ی دوم:** اعداد کوچکتر از ۱ (شامل ۱ نیست). * **اجتماع:** چون مجموع این دو بازه تمام محور اعداد حقیقی را پوشش می‌دهد (هر عدد حقیقی یا کوچکتر از ۱ است یا بزرگتر یا مساوی ۱ است). $$\mathbf{\mathbb{R}} \text{ یا } \mathbf{(-\infty, +\infty)}$$ --- ### ث) $(۳, +\infty) - [۲, ۴)$ * **بازه‌ی $\text{A}$:** $(۳, +\infty)$ (اعداد بزرگتر از ۳). * **بازه‌ی $\text{B}$:** $[۲, ۴)$ (اعداد بزرگتر یا مساوی ۲ و کوچکتر از ۴). * **تفاضل ($athbf{A} - \mathbf{B}$):** اعدادی که در $\text{A}$ هستند ولی در $\text{B}$ نیستند. * اعدادی که بزرگتر از ۳ هستند و کوچکتر از ۴ نباشند. * اعداد موجود در $\text{A}$ که از ۴ شروع می‌شوند و به سمت $+\infty$ می‌روند. * عدد ۴ در $\text{B}$ نیست، پس در تفاضل می‌آید. $$\mathbf{[۴, +\infty)}$$ --- ### ج) $[۲, ۴) - (۳, +\infty)$ * **بازه‌ی $\text{A}$:** $[۲, ۴)$ (اعداد بزرگتر یا مساوی ۲ و کوچکتر از ۴). * **بازه‌ی $\text{B}$:** $(۳, +\infty)$ (اعداد بزرگتر از ۳). * **تفاضل ($athbf{A} - \mathbf{B}$):** اعدادی که در $\text{A}$ هستند ولی در $\text{B}$ نیستند. * اعدادی که بزرگتر یا مساوی ۲ و کوچکتر از ۴ هستند، اما بزرگتر از ۳ نباشند. * یعنی اعداد از ۲ تا ۳. عدد ۳ در $\text{B}$ نیست، پس در تفاضل می‌آید. $$\mathbf{[۲, ۳]}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه ۷ ریاضی دهم این تمرین در مورد **مجموعه‌ی اعداد حقیقی** ($\mathbb{R}$) است که از یک عدد مشخص (عدد ۳) جدا شده است. ### ۱. نمایش روی محور * $\mathbb{R}$ یعنی تمام اعداد روی محور اعداد. * $\mathbb{R} - \{۳\}$ یعنی تمام اعداد حقیقی به جز عدد **۳**. * روی محور، ما یک دایره‌ی توخالی (به معنی 'نبودن') روی عدد ۳ می‌کشیم و بقیه‌ی محور را پر می‌کنیم. ### ۲. نوشتن به صورت اجتماع دو بازه وقتی عدد ۳ رو از محور حذف می‌کنیم، محور به دو قسمت تقسیم می‌شه: 1. **قسمت اول:** تمام اعداد حقیقی که از ۳ **کوچکتر** باشند. این بازه تا $-\infty$ ادامه پیدا می‌کنه و شامل خود ۳ نیست: $$\mathbf{(-\infty, ۳)}$$ 2. **قسمت دوم:** تمام اعداد حقیقی که از ۳ **بزرگتر** باشند. این بازه تا $+\infty$ ادامه پیدا می‌کنه و شامل خود ۳ نیست: $$\mathbf{(۳, +\infty)}$$ **اجتماع** این دو بازه همون مجموعه‌ی $\mathbb{R} - \{۳\}$ است: $$\mathbb{R} - \{۳\} = \mathbf{(-\infty, ۳) \cup (۳, +\infty)}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه ۷ ریاضی دهم این یک سؤال مفهومی مهم درباره‌ی ارتباط **زیرمجموعه** و مفهوم **متناهی/نامتناهی** بود. **پاسخ: $\mathbf{A}$ متناهی خواهد بود.** ### توضیح مفهومی * **فرض:** مجموعه‌ی $\text{B}$ **متناهی** است. یعنی تعداد اعضای $\text{B}$ محدود و قابل شمارشه (مثلاً ۱۰۰۰ عضو). * **فرض:** $\text{A}$ **زیرمجموعه‌ی** $\text{B}$ است ($\text{A} \subseteq \text{B}$). یعنی تمام اعضای $\text{A}$ حتماً در $\text{B}$ هم حضور دارند. * **نتیجه:** تعداد اعضای $\text{A}$ **نمی‌تونه** از تعداد اعضای $\text{B}$ بیشتر باشه (بلکه کوچکتر یا مساوی آن است). بنابراین، اگر مجموعه‌ی بزرگتر ($ ext{B}$) محدود باشد، زیرمجموعه‌ی آن ($ ext{A}$) هم حتماً باید محدود و قابل شمارش باشد. $$\text{n}(\text{A}) \leq \text{n}(\text{B})$$ چون $\text{n}(\text{B})$ عددی مشخص است، پس $\text{n}(\text{A})$ هم عددی مشخص و محدود خواهد بود، حتی اگر بخواد **بی‌نهایت** باشد که در این حالت امکان‌پذیر نیست. **مثال:** اگر مجموعه‌ی $\text{B}$ شامل روزهای هفته باشد (۷ عضو)، زیرمجموعه‌ی آن ($ ext{A}$) می‌تواند روزهای فرد هفته باشد (۴ عضو). هر دو متناهی هستند.